二进制gcd（Binary gcd）
人形魔芋
前置知识： \gcd （最大公约数），位运算
众所周知利用欧几里得算法（辗转相除法）可以做到在 \log 的时间复杂度内求出两个数的最大公约数
如果直接辗转相除硬求 \gcd 就会 T 得飞起，但是题解里那种方法 \Theta(值域) 预处理 \Theta(1) 查询又好麻烦，那么有没有一种更快的直接求两个数 \gcd 的方法呢？
二进制 \gcd 就是这样一种算法，它利用计算机优秀的二进制处理能力来计算 \gcd
假设现在我们需要求 \gcd(a,b) 满足 a,b>0
我们将 a,b 分为 5 种情况讨论
第一种， a=b 。显然 \gcd(a,b)=a=b
第二种， a=0 或 b=0 。根据最大公约数的定义当 b=0 时 \gcd(a,b)=\gcd(a,0)=a ，当 a=0 时 \gcd(a,b)=\gcd(b,0)=b
第三种， a,b 均为偶数。对于这种情况，显然 2 是公约数之一，直接将两个数都除以 2 ，再递归下去求 \gcd(\frac a2,\frac b2) 即可， \gcd(a,b)=2\cdot\gcd(\frac a2,\frac b2)
第四种， a,b 中有且仅有一个偶数。不妨设 a 是偶数，那么显然 2 不是公约数之一，直接将 a 除以 2 求 \gcd(\frac a2,b) 即可， \gcd(a,b)=\gcd(\frac a2,b)
第五种， a,b 均为奇数。不妨设 a>b ，那么有 \gcd(a,b)=\gcd(\frac2,b) ，为什么呢？下面来证明一下
设 a=k_1\gcd(a,b),\ b=k_2\gcd(a,b) 且 \gcd(k_1,k_2)=1 ，先考虑证明 \gcd(a-b,b)=\gcd(a,b) （即“更相减损术”）
a-b=(k_1-k_2)\gcd(a,Binary.com 经纪人审查和测试 b),\ b=k_2\gcd(a,b) ，那么有 \gcd(a-b,b)=\gcd(k_1-k_2,k_2)\cdot\gcd(a,b) ，即证 \gcd(k_1-k_2,k_2)=1
考虑反证法，假设 \gcd(k_1-k_2,k_2)=m 其中 m\in\mathbb,m>1 ，再设 k_1-k_2=t_1m,\ k_2=t_2m
就有 k_1=(t_1+t_2)m ，那么 \gcd(k_1,k_2)=m\cdot\gcd(t_1+t_2,t_2)>1 与 k_1,k_2 互质矛盾，得证 \gcd(k_1-k_2,k_2)=1
由于 a,b 均为奇数， a-b 就是偶数，那么问题就变成了和情况四一样， 2 显然不是公约数之一，故 \gcd(a,b)=\gcd(\frac2,b)
直接根据上图模拟，我们可以得到以下代码（注意： ~ 的运算优先级高于 | 和 & Binary.com 经纪人审查和测试 ）
首先把两个数公约数中的所有 2 提出来，也就是把二进制末尾的 0 全部提出来，然后两个数就至少有一个是奇数，把两个数末尾的 0 再分别去掉就能保证一定是两个奇数，利用更相减损术循环求解就行，具体看代码
注意到每次还是都使用 while 来去除二进制下末尾的 0 ，效率低下，可以利用硬件函数 __builtin_ctz() 来继续加速
同时只有直接输入 0 时才可能 a=0 或是 b=0 ，所以如果输入保证不为 0 就可以去掉这个判断
这样我们就成功地利用 \Theta(\log n) 求 \gcd 切掉了 Luogu P5435 这道需要 \Theta(\text) 预处理 \Theta(1) 求 \gcd 的题目
MySQL主从复制详细介绍
TimeFriends 于 2022-08-18 13:45:18 发布 634 收藏 92
一、主从复制的目的
二、主从复制的原理和步骤
简单的说就是master将数据库的改变写入binary log二进制日志，这个日志会记录下所有修改了数据库的SQL语句（insert,update,delete,grant等）,slave同步这些二进制日志，并根据这些二进制日志进行数据操作,其实就是把主服务器上的binary log复制到从服务器上执行一遍，这样从服务器上的数据就和主服务器上的数据相同了。
5.从节点启动另外一个线程(sql Thread )，把replaylog中的事件读取出来，并在本地再执行一次。
三、复制中线程的作用
Dump Thread:为每个Slave的I/O Thread启动一个dump线程，用于向从节点发送二进制事件。
如果从节点需要作为其他节点的主节点时，是需要开启二进制日志文件的。这种情况叫做级联复制。如果只是作为从节点，则不需要创建二进制文件。
四、主从复制配置过程
3.创建有复制权限的用户账号 replication slave。
· 添加：expire_logs_days=7(自动清理 7 天前的log文件,可根据需要修改)
4.3.4 在从节点配置访问主节点的参数信息
添加 主节点主机，访问主节点的用户名及密码，主节点二进制文件信息。
4.3.5 查看从节点的状态信息
因为没有启动 从节点的复制线程，I/O线程和SQL 线程都为NO.
使用start slave命令启动从节点的复制线程，再利用show slave status命令查看当前的从节点状态。
五、错误排查总结
- 查看是否使用了nat的网络结构到导致网络有问题，连接不上。
- 有可能my.cnf有问题，配置文件
- 授权的问题，replication slave和file权限是必须的。
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来源：公众号「神谕的暗影长廊」 在异步或半同步的复制结构中，从库出现延迟是一件十分正常的事。 虽出现延迟正常，但是否需要关注，则一般是由业务来评估。 如：从库上有需要较高一致性的读业务，并且要求延迟小于某个值，那么则需要关注。 简单概述一下复制逻辑： 1、主库将对数据库实例的变更记录到binlog中。 2、主库会有binlog dump线程实时监测binlog的变更并将这些新的events推给从库（Master has sent all binlog to slave; waiting for more updates） 3、从库的IO Thread接收这些events，并将其记录入re
主要介绍了MySQL主从复制配置心跳功能介绍,解决Slave has read all relay log; waiting for the slave I/O Binary.com 经纪人审查和测试 thread to update it问题,需要的朋友可以参考下