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使用Bgogo交易平台的說明

矩阵等价二三事

矩阵等价与向量组等价有什么区别?

\begin \left( \begin a_& a_& \cdots& a_\\ a_& a_& \cdots& a_\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_& a_& \cdots& a_\\ \end \right) _& \frac>& \left( \begin b_& b_& \cdots& b_\\ b_& b_& \cdots& b_\\ \vdots& \vdots& \ddots& 使用Bgogo交易平台的說明 \vdots\\ b_& b_& \cdots& b_\\ \end \right) _\\ \Updownarrow& \,\,& \Updownarrow\\ \left( \alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _n \right)& 使用Bgogo交易平台的說明 \frac><\longleftrightarrow>& \left( \beta _1,\beta _2,\cdots ,\beta _ \right)\\ \end\\

如果我们进一步把游戏规则限定为各向量组中的向量个数和维数都相同,这样也就规定了靠矩阵分块来表示向量组的矩阵是同型矩阵了。

考虑到大部分人没有耐心看完后面的分析过程,开门见山给出结论(总结下来四条)

“ \Rightarrow ”表示一定可以由左边的 \times 使用Bgogo交易平台的說明 \times 推出右边的 \times \times (单向),但右边不一定推得出左边

“ \nRightarrow ”表示不一定能由左边的 \times \times 推出右边的 \times \times

  1. 矩阵 \boldsymbol 和 \boldsymbol 行等价 \Leftrightarrow 矩阵 \boldsymbol 的行向量组 A:\alpha _1^>,\alpha _2^>,\cdots ,\alpha _n^> 和矩阵 \boldsymbol 的行向量组 B:\beta _1^>,\beta _2^>,\cdots ,\beta _n^> 等价 \Leftrightarrow R\left( \boldsymbol \right) =R\left( \boldsymbol \right) =R\left( \begin\boldsymbol\\ \boldsymbol\\ \end \right) \Leftrightarrow R\left( \alpha _1^>,\alpha _2^>,\cdots ,\alpha 使用Bgogo交易平台的說明 _n^> \right) =R\left( \beta _1^>,\beta _2^>,\cdots ,\beta _n^> \right) =R\left( \alpha _1^>,\alpha _2^>,\cdots ,\alpha _n^>,\beta _1^>,\beta _2^>,\cdots ,\beta _n^> \right)
  2. 矩阵 \boldsymbol 使用Bgogo交易平台的說明 和 \boldsymbol 列等价 \Leftrightarrow 矩阵 \boldsymbol 的列向量组 A:\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _n 和矩阵 \boldsymbol 的列向量组 B:\beta _1,\beta _2,\cdots ,\beta _n 等价 \Leftrightarrow R\left( \boldsymbol \right) =R\left( \boldsymbol \right) =R\left( \boldsymbol,\boldsymbol \right) \Leftrightarrow R\left( \alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _n \right) =R\left( \beta _1,\beta _2,\cdots ,使用Bgogo交易平台的說明 \beta _n \right) =R\left( \alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _n,\beta _1,\beta _2,\cdots ,\beta _n \right)
  3. 矩阵 \boldsymbol 的(行或列)向量组和矩阵 \boldsymbol 的(行或列)向量组等价 \Rightarrow 矩阵 \boldsymbol 和 \boldsymbol 等价
  4. 矩阵 \boldsymbol 和 \boldsymbol 等价 \nRightarrow 矩阵 \boldsymbol 的(行或列)向量组和矩阵 \boldsymbol 的(行或列)向量组等价

回顾一下矩阵等价的充要条件(同济线代第六版 P61 页)

向量组等价的充要条件(同济线代第六版 P84 页 定理2推论)

向量组 A:a_1,a_2,\cdots ,a_l 与向量组 B:b_1,b_2,\cdots ,b_m 等价的充分必要条件是

假定向量组 A:\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _n 与向量组 B:\beta _1,\beta _2,\cdots ,\beta _n 等价,方便起见,先规定这些向量都是行向量

把矩阵 \boldsymbol 的矩阵元写出来,并标记 \boldsymbol^=\boldsymbol ,那么

这意味着行向量组 \alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _n 可以与行向量组 \beta _1,\beta _2,\cdots ,\beta _n 互相线性表示,这正说明了矩阵 \boldsymbol 使用Bgogo交易平台的說明 的行向量组和矩阵 \boldsymbol 的行向量组等价

是的,如果你把 \boldsymbol^> 看成是方程组的解 \boldsymbol 就好理解了,这个线性方程组既然有解 \boldsymbol^> ,那么根据线性方程组有解的充要条件:

Q2:行向量组 A:\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _n 和行向量组 B:\beta _1,\beta _2,\cdots ,\beta _n 等价可以推出矩阵 \boldsymbol 和 \boldsymbol 是行等价吗?

既然规定了 \alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _n 是行向量,乍一看处理起来很棘手,转置一下就转化为我们熟悉的列向量。

R\left( \boldsymbol \right) =R\left( \begin \beta _1\\ \beta _2\\ \vdots\\ \beta _n\\ \end \right) =R\left( \boldsymbol^> \right) =R\left( \beta _1^>,\beta _2^>,\cdots ,\beta _n^> \right) \\

那么套用上面同样懒得抄的充要条件(同济线代第六版 P84 页 定理2推论),则有:

\Leftrightarrow R\left( \alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _n \right) =R\left( \beta _1,\beta _2,\cdots ,\beta _n \right) =R\left( \alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _n,\beta _1,\beta _2,\cdots ,\beta _n \right)

嗯。。我刚刚还把 \boldsymbol 写成矩阵形式还写了一大串balabala,也懒得删了重新组织语言了:)

使用Bgogo交易平台的說明 矩阵等价二三事

  1. 矩阵 \boldsymbol 和 \boldsymbol 列(行)等价 \Rightarrow 矩阵 \boldsymbol 和 \boldsymbol 等价
  2. 矩阵 \boldsymbol 和 \boldsymbol 等价 \nRightarrow 矩阵 \boldsymbol 和 \boldsymbol 列(行)等价

也就是说,(行或列)向量组等价一定能推出矩阵等价,但矩阵等价不一定能推出(行或列)向量组等价

但是作为列向量的话, \left( \begin 0\\ 1\\ \end \right) 和 \left( \begin 1\\ 0\\ \end \right) 并不等价。

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